منطق در ايران

شهرت لئون هنكين بيشتر به دليل اثبات تماميت منطق محمول‌ها به روشي بسيار ساده‌تر و كلي‌تر از روش گودل است. (برهان تماميت گودل اولين برهان تماميت براي منطق محمولهاست). امروزه، بيشتر برهان‌هاي تماميت در نظام‌هاي گوناگون منطق جديد به روش هنكين صورت مي‌گيرد.

گودل در برهان خود بر ناتماميت علم حساب، گزاره‌اي مشابه پارادوكس دروغگو (= من دروغ مي‌گويم) را در علم حساب پيدا كرد كه مي‌گفت همين گزاره در علم حساب قابل اثبات نيست. اگر اين گزاره در علم حساب قابل اثبات باشد قابل اثبات نخواهد بود و بنابراين، علم حساب ناسازگار مي‌شود و اگر قابل اثبات نباشد علم حساب همه گزاره‌هاي صادق را نمي‌تواند اثبات كند و بنابراين، ناتمام است. از آنجا كه اين گزاره يا قابل اثبات است يا قابل اثبات نيست پس علم حساب يا ناسازگار است يا ناتمام؛ و به عبارت ديگر، علم حساب اگر سازگار باشد ناتمام است.

هنكين در 1952، اين سوال را مطرح كرد كه گزاره مشابه پارادوكس راستگو (= من راست مي‌گويم) كه مي‌گويد همين گزاره در علم حساب قابل اثبات است چه وضعيتي دارد؟ آيا قابل اثبات است يا قابل ابطال؟ و يا برخي قابل اثبات و برخي قابل ابطال؟

مارتين لوب در 1955 پاسخ شگفتي به اين سوال داد: چنين گزاره‌هايي، همگي، قابل اثبات هستند. اين پاسخ به قضيه لوب معروف است و سرآغاز منطق اثبات پذيري است. اگر £ را به معناي اثبات‌پذيري در علم حساب بگيريم سوال هنكين چنين صورت بندي مي‌شود:

⊢ P↔£P   Þ  ⊢ P  ?

لوب پاسخ قوي‌تري به اين سوال داد و حكم قوي‌تر زير را ثابت كرد:

⊢ £ P → P   Þ  ⊢ P 

صورت تقويت شده اين حكم را كه در زير آورده ايم اصل گودل لوب مي‌نامند:

£ (£ P → P)  →  £ P 

اين اصل را به افتخار گودل و لوب، GL نام گذاري كرده‌اند و هيوز و كرسول 1996 آن را W ناميده اند. منطق وجهي KW يا همان GL مبناي كار منطق اثبات پذيري است.

براي آشنايي با زندگي‌نامه و كارهاي منطقي اين دو منطق‌دان، به سايت‌هاي زير مراجعه كنيد: