دانشجويان منطق با نظام‌هاي منطقي بسياري آشنا هستند كه شناخته‌ترين آنها عبارتند از «منطق گزاره‌ها»، «منطق محمول‌ها»، «منطق محمول‌ها و اين‌هماني»، «منطق وجهي» (= منطق موجهات يا منطق جهت‌ها)؛ اما «منطق محمول‌ها و توابع» براي بسياري از دانشجويان ناشناخته است. اتفاقا، يكي از تفاوت‌هاي مهم ميان كتاب‌هاي منطق فلسفي و كتاب‌هاي منطق رياضي در پرداختن و نپرداختن به همين «منطق محمول‌ها و توابع» است.

كتاب‌هاي منطق فلسفي (مانند مصاحب 1334، موحد 1368، نبوي 1377 و تيدمن و كَهين 1383) هيچ كدام به «منطق محمول‌ها و توابع» نپرداخته‌اند (مصاحب هرچند به صورت گذرا در صفحات 460-464 به بحث توابع مي‌پردازد اما تصريح مي‌كند كه «توابع در رياضيات عالي و منطق بسيار مهم است ولي بحث در آنها از حدود اين كتاب خارج است» ص 464).

اين در حالي است كه كتاب‌هاي منطق رياضي همگي «توابع» را بخشي از منطق محمول‌هاي مرتبه اول در نظر آورده‌اند (جفري 1366 ص 150-153، اِندرتون 1366 ص 78، هميلتون 1371 ص 70 و اردشير 1383 ص 92). در كتاب‌هاي منطق رياضي، «منطق (محمول‌هاي) مرتبه اول» همان «منطق محمول‌ها و اين‌همانيِ» رايج به همراه «توابع» است. از آنجا كه «توابع» را مي‌توان با يا بدون محمول «اين‌هماني» بررسي كرد، با حذف اين محمول از «منطق مرتبه اول» به «منطق محمول‌ها و توابع» مي‌توان رسيد.

در رياضيات، اهميت «توابع» بسيار بيشتر از «محمول‌ها» است زيرا در بسياري از نظريات رياضي، تنها محمول مورد نياز همانا محمول «اين‌هماني» است و اندك محمول‌هاي ديگر مانند «كوچكتري» (يعني «<») را مي‌توان بر حسب «اين‌هماني» و ديگر توابع تعريف كرد. اين در حالي است كه توابع مورد نياز رياضيات بسيار زياد است و در اينجا، تنها به بخش كوچكي از آنها اشاره مي‌كنيم:

  1. حساب:
    1. نصف، ثلث، ربع، خمس، ...
    2. چهار عمل اصلي (جمع، ضرب، تقسيم، تفريق)
    3. جمع و ضرب مجموعه‌اي ( Σ و Π )
    4. منفي، مثبت، قدر مطلق
    5. توان، ريشه، لگاريتم
  2. آمار:
    1. معدل، ميانه، نما، انحراف معيار، ...
  3. آناليز:
    1. حد، مشتق، انتگرال، ديفرانسيل، ...
  4. هندسه:
    1. مركزِ (دايره)، نيمسازِ (زاويه)، عمود منصفِ (پاره‌خط)
    2. طول و عرضِ (مستطيل)، اندازة (پاره خط، زاويه، كنج)
    3. محيط، مساحت و حجمِ (يك شكل)
    4. خط گذرنده (از دو نقطه)
    5. نقطه تقاطعِ (دو خط ناموازي)
    6. خط موازيِ (يك خط و يك نقطه)
    7. خط مماس (بر يك نقطه از يك دايره)

 

اين مثال‌ها نشانگر كاربرد فراوان «توابع» در رياضيات (در برابر تعداد بسيار اندك «محمول‌ها» مانند «=» و «<») است. با اين حال، «توابع» مختص رياضيات نيست و در زبان طبيعي، فلسفه و منطق قديم نيز مصاديق بسياري دارد و از اين رو، شايسته است كه «منطق فلسفي» نيز مانند «منطق رياضي» به بحث توابع بپردازد.

در زبان طبيعي، توابع بسياري وجود دارد مانند:

  1. «قيمت (x)» (مصاحب 1334 ص 463)،
  2. «پدرِ (x)» (جفري 1366 ص 150 و هميلتون 1371 ص 70)،
  3. «مادرِ (x)» (اردشير 1383 ص 91)،
  4. «فرزندِ اولِ (x)»،
  5. «محلِ تولدِ (x)»،
  6. «مديرِِ (x)»،
  7. «رئيس‌جمهورِِ (x در زمان t)»،
  8. «پايتختِ (x در زمان t)»،
  9. «قهرمان ِ(مسابقه x در زمان t)»،
  10. «معرفي كننده‌ي ِ(x به y در زمان t)»،
  11. «آورنده‌ي ِ(x از y به z در زمان t)»،

كاربرد توابع در منطق قديم نيز بسيار است:

  1. نسبت (يك لفظ به دو معنا) [= اشتراك لفظي، اشتراك معنوي، حقيقت و مجاز، ارتجال]
  2. نسبت (دو لفظ به يك معنا) [= ترادف يا تباين]
  3. نسبت (دو كلي) [= نسب اربع: تساوي، تباين، عموم و خصوص مطلق و من‌وجه]
  4. نسبت (كلي به مصاديق) [= كليات خمس: جنس، نوع، فصل، عرض عام و خاص]
  5. عكس مستوي (قضيه)
  6. عكس نقيض (قضيه)
  7. نقيض (قضيه)
  8. نقض محمول (قضيه)
  9. ماده (استدلال) [= مجموعه موضوع‌ها و محمول‌هاي به كار رفته در استدلال]
  10. صورت (استدلال) [= حاصل قرار دادن حروف به جاي موضوع‌ها و محمول‌ها]
  11. نوع (استدلال) (از نظر صورت) [= قياس، استقراء، تمثيل]
  12. نوع (استدلال) (از نظر ماده) [= برهان، جدل، خطابه، شعر، مغالطه]
  13. حداصغر، حدوسط و حداكبر (قياس)
  14. نتيجه‌ي (قياس)
  15. شكل (قياس) و ضرب (قياس)

به نظر مي‌رسد كاربرد توابع در فلسفه به اندازه رياضيات و منطق نيست؛ با وجود اين، كاربردهايي از توابع در فلسفه يافت مي‌شود:

  1. وجود (x)
  2. ماهيت (x)
  3. مقوله‌ي (x) [= جنس الاجناس (x)]
  4. زمان (x) [= اندازه‌ي حركت (x)؛ براي نمونه، هشتاد سال]
  5. زمان (x) [= مجموعه لحظات موجود بودن (x)؛ براي نمونه، از سال 1300 هجري تا 1380 هجري]
  6. مكان (x در لحظة t)
  7. علت (x)

مقصود از «علت»، «علت تامه» است  نه «علل ناقصه» (و «علت قريبه» است نه «علل بعيده»). چرايي مسئله آشكار است زيرا يك شيء ممكن الوجود، يك و تنها يك «علت تامه قريبه» دارد اما مي‌تواند چندين «علت تامه بعيده» يا «علت ناقصه قريبه» داشته باشد.

  1. علت العلل (x)
  2. مرتبه وجودي (x) [بنا به پذيرش تشكيك در وجود]

تا اينجا، تلاش كرديم اهميت «منطق محمول‌ها و توابع» را در «منطق فلسفي» بيان كنيم. در پست‌هاي بعد، به تفاوت‌هاي اين منطق با «منطق محمول‌ها» و تفاوت «توابع» با «وصف خاص» مي‌پردازيم.

 منابع:

  1. اردشير، محمد، (1383)، منطق رياضي، تهران، انتشارات هرمس.
  2. اندرتون، هربرت بي.، (1366)، آشنايي با منطق رياضي، ترجمه غلامرضا برادران خسروشاهي و محمد رجبي طرخوراني، تهران، مركز نشر دانشگاهي.
  3. تيدمن، پل و هاوارد كهين، (1383)، درآمدي نو به منطق نمادين، منطق محمولها، ترجمه رضا اكبري، تهران، دانشگاه امام صادق.
  4. جفري، ريچارد، (1366)، قلمرو و مرزهاي منطق صوري، ترجمه پرويز پير، تهران، انتشارات علمي و فرهنگي.
  5. مصاحب، غلامحسين، (1334)، مدخل منطق صورت، تهران، انتشارات دانشگاه تهران.
  6. موحد، ضياء، (1368)، درآمدي به منطق جديد، تهران، انتشارات علمي و فرهنگي.
  7. نبوي، لطف اله، (1377)، مباني منطق جديد، تهران، انتشارات سمت.
  8. هميلتون، آ. گ.، (1370)، منطق براي رياضيدانان، ترجمه محمدعلي پور عبداله، مشهد،انتشارات آستان قدس رضوي.