1- ابتدا به این قسمت از سوال کوشا که در واقع بیان غیر صوری یک برهان در سیستم منطق گزاره هاست دقت کنید:
"اگر الف آنگاه ب و اگر ب آنگاه نقیض الف پس اگر الف آنگاه نقیض الف منطقیون جدید الف را به عنوان فرض کمکی می گیرند و از مقدمه اول و فرض کمکی با وضع مقدم ب را نتیجه می گیرند و سپس با یک وضع مقدم دیگر نقیض الف را بدست می آورند و در نهایت با قاعده معرفی شرط اگر الف آنگاه نقیض الف را نتیجه می گیرند."
2- اینک سعی میکنیم برهان فوق را صوری کنیم:
1- P" Q مقدمه
2- Q " ~P مقدمه
3- P فرض کمکی
4- Q وضع مقدم 1و3
5- ~P وضع مقدم 2و4
6- P"~P معرفی شرط 3 تا 5
3- حال به سوال اصلی کوشا میپردازیم:
" حال سوال این است که مگر نه این است که ما الف را به عنوان فرض کمکی گرفتیم و مگر نه آن است که در فرایند استدلال به نقیض الف هم رسیدیم اینک مگر نه آن است که ترکیب عطفی الف و نقیض الف تناقض است پس چرا نمی گوییم در این استدلال به تناقض رسیده ایم ."
4- اینک سعی میکنیم سوال فوق را صوری کنیم:
1- P" Q مقدمه
2- Q " ~P مقدمه
3- P فرض کمکی
4- Q وضع مقدم 1و3
5- ~P وضع مقدم 2و4
6- P^~P معرفی عطف 3و5
5- خب تا اینجا چه مسئله ای ممکن است نظر کوشا را به خود جلب کرده باشد؟
الف) اینکه ما از مقدمات صادق به نتیجه کاذب رسیده ایم .
ب) اینکه لا اقل یکی از سطرهای این برهان تناقض است و چگونه ممکن است یک برهان واجد چنین سطری باشد؟
6- پاسخ :
الف ) در پاسخ باید بگوییم این برهان هنوز تمام نشده ( چون فرض کمکی با هیچکدام از قواعد مناسب بسته نشده)و از آنجاییکه " نتیجه یک برهان " عبارتست از آخرین سطر یک برهان لذا مشکله الف اساسا وارد نیست .
ب) ما در این برهان به تناقض نرسیده ایم بلکه دریک برهانک ناتمام به تناقض رسیدیم که هیچ ایرادی ندارد. .به عبارت دیگر گرچه وجود تناقض در بدنه اصلی یک برهان قابل قبول نیست لکن مطابق قواعد استنتاج طبیعی وجود تناقض در برهانک در دو صورت قابل قبول است :
1- اگر بلافاصله برهانک را ببندیم و نقیض فرض کمکی را نتیجه بگیریم :
7- ~P معرفی نقیض 3 تا 6
2- اگر بلافاصله برهانک را ببندیم و قضیه شرطی زیر را نتیجه بگیریم :
7- P " (P^~P) معرفی شرط 3 تا 6
7- پاسخ اطی:"در مورد سوال آقای کوشا فکر میکنم منظورشان این بود که چرا در منطق جدید ترکیب شرطی P"~P را تناقض نمی دانند.به نظر من به لحاظ صوری به تناقض نرسیده ایم .اما این مهم نیست. چون به لحاظ معنا شناسی یک تناقض است"
8- نقد پاسخ اطی :
اولا: گمان نمیکنم منظور کوشا این باشد که " چرا در منطق جدید ترکیب شرطی P"~P را تناقض نمی دانند؟" زیرا اگر بندهای 3 تا 5 فوق را به دقت بررسی کنید منظور کوشا روشن میشود .منظور او این است: که چرا در منطق جدید یکی از سطرهای برهان یا نتیجه برهان میتواند تناقض باشد.( شاید علت این سوء برداشت اطی طرح بخشهای غیر ضروری و بلکه مخل در سوال کوشا باشد . اگر دقت کنید قسمت اول سوال کوشا ( بند 2 ) کاملا زائد است. (حدس میزنم کوشا به هنگام مواجهه با آن برهان (بند 2) به این سوال رسیده و گمان برده که آن هم جزئی از این سوال است یا لااقل در فهم و حل آن موثر است )
ثانیا:چه کسی گفته که ما به تناقض صوری نرسیده ایم؟ سطر 6 این برهان عین تناقض صوری است. حال آن را چه بصورت ( P^~P ) نمایش دهیم و چه به صورتی که کوشا گفته.
ثالثا: گزاره متناقض به لحاظ نحوشناختی گزاره ای است که از ترکیب عطفی یک گزاره (اتمی یا مولکولی) با نقیض همان گزاره به دست آمده است ( مطابق این تعریف حتی (P≡~P) یک تناقض نیست). و گزاره متناقض به لحاظ معناشناختی گزاره ای است که در هیچ تعبیری صادق نباشد .لذا گزاره P"~P به لحاظ معناشناختی متناقض نیست چون کافی است ارزش P را کاذب در نظر بگیریم . در این تعبیر، P"~P صادق است و لذا این گزاره متناقض نیست.همینطور به لحاظ نحوشناختی نیز این گزاره متناقض نیست چون ترکیب عطفی بین یگ گزاره و نقیض همان گزاره نیست.
9- نقد فلاحی به پاسخ اطی:
آقای فلاحی دانسته یا نادانسته نه به اشکال کوشا بلکه به پاسخ اطی پرداخته:
اما اینکه چرا P"~P تناقض نیست دليل آن اين است كه تناقض هميشه كاذب است اما فرمول مذكور هميشه كاذب نيست! بلكه گاهي صادق است!! مي‌گوييد مثلا كي؟ پاسخ اين است كه مثلا اگر را با جايگزين كنيم فرمول
(p&~p) "~(p&~p)
به دست مي‌آيد كه جمله صادقي است. برهان:
1. p&~P
2. p
3. ~~p
4. ~~p v ~p
5. ~(p&~p)
10 – نقد نقد فلاحی:
اطی مدعی است که (P"~P) به لحاظ معناشناختی یک تناقض است اما به لحاظ نحوشناختی نه! در مورد اینکه (P"~P) به لحاظ نحوشناختی تناقض نیست حرفی نیست ( همانطور که گفتیم تناقض نحوشناختی در منطق گزاره ها منحصرا به شکل (P^~P) و نمونه جانشین های آن است ) اما اینکه(P"~P) به لحاظ معناشناختی یک تناقض است آقای فلاحی با کوشا موافق نیست زیرا به قول ایشان " تناقض هميشه كاذب است اما فرمول مذكور هميشه كاذب نيست بلكه گاهي صادق است"
منظور ایشان از قید های "همیشه" و " گاهی"چیست؟
الف) " همه نمونه جانشین ها " و " بعضی نمونه جانشین ها"
ب) " همه تعبیرها" و " بعضی تعبیرها" (یا " همه سطرهای جدول ارزش" و " بعضی سطرهای جدول ارزش")
اگر منظور ایشان ب بود مشکلی پیش نمی آمد ( من هم در بند 8 قسمت ثالثا تناقض معناشناختی را به این معنا تعریف کرده ام) اما ظاهرا منظور ایشان الف است زیرا به ((p&~p) "~(p&~p) ) به عنوان مثال اشاره میکنند که با جایگزینی p&~p به جای p از P"~P به دست آمده است. آقای فلاحی در واقع یک تعریف برای تناقض معناشناختی در نظر داشته اند و این مثال را به عنوان مثال نقض آورده اند تا نشان دهند P"~P یک تناقض نحوی نیست. اما تعریف ایشان با توجه به اینکه ایشان قید همیشه و گاهی را به معنای الف در نظر گرفته اند چه میتواند باشد؟ یکی از دو تعریف زیر:
ج) گزاره ای به لحاظ معناشناختی متناقض است که هیچ نمونه جانشین آن یک قضیه(theorem) در منطق گزاره ها نباشد.
د) گزاره ای به لحاظ معناشناختی متناقض است که هیچ نمونه جانشین آن یک توتولوژی نباشد.
تلاش ایشان برای اثبات اینکه (p&~p) "~(p&~p) یک قضیه است تعریف ج را تقویت میکند اما اشاره به صدق این مثال نقض تعریف د را
اما در هر دو صورت تعاریف ایشان مخدوش به نظر میرسند:
اشکال تعریف نخست در خلط رویکردها (نحو شناسی و معناشناسی) است یعنی تعریف تناقض معناشناختی از طریق مفاهیم نحوشناختی ( قضیه) خلط مبحث است و نادرست.
اشکال تعریف دوم در عدم تساوی معرِف و معرَف است یعنی آن گزاره ای که نمونه جانشین توتولوژیک ندارد لزوما متناقض نیست بلکه شاید گزاره ممکن الصدق است. به عبارت دیگر گزاره ای را میتوان مثال زد که هیچ نمونه جانشینی از آن توتولوژی نیست اما متناقض هم نیست مثل همین P"~P
خلاصه مطلب آنکه به نظر میرسد اگر فلاحی در اثبات متناقض نبودن P"~P( به لحاظ معناشناختی ) یک تعبیر ناقض را ( یعنی تعبیر V(t)=T) به عنوان مثال نقض مطرح میکردند نه یک قضیه و نمونه جانشین ناقض ، بهتر بود.
Colin Allen and Michael Hand
Table of Contents and Sample Chapters