فصل اول :مقدمه

به نظر مي رسد که يک دانشجوي رياضي يا يک فرد علاقه مند به مسائل رياضي در مواجهه با يک مسئله رياضياتي3 نوع سوال مي تواند بپرسد:1- تکنيکي 2- علمي (تخصصي) 3- فلسفي.

مثال 1: قضيه: هرگاه تابع f در نقطه  مشتق پذير باشد، آنگاه f در x پيوسته است.

 برهان : فرض کنيم f در x مشتقپذير است.                                                              (1)

بنابراين َf  در x تعريف شده است:

                                                                                 (2)

اما از سوي ديگر داريم:

                                                                     (3)

از طرفين تساوي حد مي گيريم:

                                                    (4)

با جايگذاري (2) در (4) داريم:

                                                                     (5)

بنابراين خواهيم داشت:

                                                                                          (6)

اما اين کاملاً قابل اثبات است (لم ) که:

  f در x پيوسته است              اگر و تنها اگر                             (7)

لذا بنابر (6) و (7) ،  f در x پيوسته است.                                                               (8)

¢

 اما انواع سوالاتي که مي توان پرسيد:

١- چگونه مي توان از گزاره  n به m  رسيد (٨≥m >n≥١ ) ؟

٢-چرا مي توان از گزاره n  به m رسيد (٨≥m >n≥١ ) ؟

٣-درستي يک گزاره به چه معني است؟ و چه چيزي درستي هر کدام از ٨ ادعاي فوق را تضمين مي کند؟ و ما چگونه به آن چيز معرفت مي يابيم؟

آنچه که ، به ترتيب، درپاسخ به سوالهاي اول و دوم گفته مي شود «تکنيک هاي اثبات رياضي » و «مفاهيم و قضاياي رياضي » است. اولي «مهارت[1] رياضي » ما را ارتقا مي دهد و دومي «معرفت[2] رياضي » ما را ؛ و بالاخره آنچه که در پاسخ به سوال سوم بيان مي شود « معناشناسي , وجود شناسي و معرفت شناسي علم رياضي » است. اين پاسخ « بصيرت[3] رياضي» ما را ارتقا ميدهد.

به اين پاسخ هاي احتمالي كه به ترتيب براي سوالات يك تا سه ارائه ميشوند توجه کنيد:

١- براي اينکه از سطر (٥) به (٦) برسيمf(x)  را به طرفين تساوي مي­افزاييم :

٢- دليل موجه بودن استنتاج (٦) از (٥) اين است که ما هر کدام از lim f(x) و f(x)  را بعنوان يک عدد، در نظر مي گيريم و از جمله خواص جبري اعداد اين است که:

a + b – b = a

٣- درست بودن سطر 6 به اين معني است كه اين سطر سطري از يك برهان است؛يعني حاصل اِعمال اصول و قواعد منطقي و رياضياتي روي سطرهاي ماقبل (1-5) است؛ بطوريکه با تعقيب فرايند اين استدلال نهايتا به مفاهيم و اصول موضوعه رياضي ميرسيم. اين صدق لزوما به يك واقعيت خارجي ملموس (مثل واقعيات فيزيكي،شيميايي يا زيست شناختي) يا انتزاعي (مثل واقعيات متافيزيكي يا ذهني) اشاره نميكند؛ بلكه ممكن است تنها يك واقعيت رياضياتي و منطقي باشد.يك  واقعيت رياضياتي،مطابق معناشناسي منطق گرايانه،عبارتست از يك سطر از يك برهان.  معرفت ما به اين واقعيت رياضياتي به واسطه پذيرش شهودي اصول و قواعد منطقي و رياضياتي و نيز مستدل بودن ادعاي مزبور (ادعاي سطر 6)بوسيله اين اصول و قواعد ممکن ميشود.

البته اين پاسخ به سوال فلسفي صرفا با رويكرد منطقگرايانه ارائه شده است ؛ يعني اگر با رويكرد صورتگرايانه يا شهودگرايانه وارد ميشديم يقينا به پاسخهاي متفاوتي ميرسيديم.بنابراين همانطور كه ملاحظه ميشود پاسخ فلسفي لزوما يك پاسخ منحصر به فرد نيست. پاسخ مهارتي ( تكنيك انجام كار) نيز لزوما منحصر به فرد نيست ؛اما پاسخ علمي (رياضياتي) مانند ساير علوم ( فيزيك ، شيمي و زيست شناسي )در يك مقطع تاريخي، منحصر به فرد است؛ و اين از وجوه اختلاف علم رياضي با همه فلسفه ها و از جمله خود فلسفه رياضي است.  

با توجه به نوع سوم سوال و جواب فوق و مقايسه آن با دو نوع ديگر تا حدودي حوزه کار ما روشن مي شود. اما براي درک بهتر و کاملتر از فلسفه رياضي بايد تا انتهاي اين درسنامه صبر کرد! ما در اينجا ابتدا توضيحات مختصري درباره مهارت، معرفت و بصيرت رياضي ارائه مي دهيم و سعي ميکنيم با نگاه اجمالي و کلي، جغرافياي بحث را معين و مشخص نمائيم و سپس در فصلهاي دو و سه به آناليز کليد واژه هاي فلسفه ( ازجمله معناشناسي، وجودشناسي ، معرفت شناسي و علم شناسي) و منطق بپردازيم تا در فصل چهار و به هنگام طرح مسائل بنيادين رياضي واژه اي برايمان غريب و نامانوس يا مبهم و ناواضح نباشد؛ و در نهايت مجموعه پاسخهايي که در تاريخ  تطور اين علم گفته شده را بازگويي ميکنيم.

مهارت رياضي

    دانستن تکنيک يک اثبات (برهان) لزوماً به معناي دانستن حقايق رياضي نيست. چه بسا شخصي بتواند چگونگي اثبات يک قضيه را براي ما به خوبي نشان دهد اما هرگاه از او مي پرسيم چرا مي توان چنين کرد (سوال رياضياتي)؟ يا اينکه اساساً چه چيزي يک رياضيدان را در اين قسمت از برهان مجاب و مطمئن مي سازد (سوال فلسفي)؟ جوابي براي گفتن نداشته باشد! درست مانند راننده ماهري که گرچه برنده رالي سرعت است اما هيچ بهره اي از دانش مکانيک خودرو نبرده است و در باب پارادوکس امکان حرکت (زنون) چيزي نشنيده است. لذا او نه در صنعت خودروسازي و علم مکانيک به جائي خواهد رسيد و نه در نظريه حساب ديفرانسيل و انتگرال[4]. اما بديهي است که با فراگيري دقيق و عميق علم رياضي ، فرد مي تواند بهترين تکنيک را (يعني کوتاهترين و روشن ترين تکنيک را) حدس بزند و آنرا بکار گيرد و حتي مبدع روش هاي جديد باشد. تکنيک کانتور در اثبات اين قضيه که «فاصله(١,٠) اعداد حقيقي، ناشماراست.» و همچنين تکنيک گودل در اثبات اين فرا قضيه که «حساب ناتمام است». از تکنيکهاي مثال زدني درتاريخ رياضي است.اولي را تکنيک قطري کانتور مي­نامند و دومي تکنيک اثبات پذيري گودل . کانتور اول عقيده داشت که هر مجموعه نامتناهي ،شماراست. اما با ابداع روش قطري براي ساختن يک عدد شمارش نشده دست از اين عقيده برداشت، يقيناً هم اين سوال « که آيا مجموعه اي مي تواند نا شمارا باشد؟» و هم اين جواب(بله) نتيجه تسلط او به اين دانش (نظريه مجموعه ها) است. به قول «مولانا » «هم سوال از علم خيزد هم جواب».

گودل نيز با يک مسئله روبرو شده بود: آيا حساب تمام است. يعني آيا هر قضيه درست در حساب اثبات پذير است. اين يک قضيه درست است که مجموع دو عدد زوج عددي زوج است ؛ چون وقتي به سراغ اعداد صحيح ميرويم ملاحظه ميکنيم که مثلا :

4=2+2 ،          ،  6=2+4  ،   8=4+4 8 =6+2    ، .  . . ،  .  . . ، 

اما رياضي يک علم تجربي نيست که با ديدن مصاديق جزئي مکرر و متنوع بتوانيم حکم کلي بدهيم. البته ما ميتوانيم اين ادعا را به عنوان يک حدس در نظر بگيريم و نامش را مثلا حدس زوجيت بگذاريم اما براي پذيرش آن به عنوان يک حکم کلي بايد برهاني اقامه کرد:

k , k^'     2k+ 2k^' = 2 (k+  k^') = 2k^"

 اما آيا اين کار براي هر حدسي در رياضيات ممکن است؟ مثلا آيا حدس گلدباخ(هر عدد زوج بزرگتر از 2 مجموع دو عدد اول است) را ميتوان اثبات کرد؟ مسئله گودل مانند مسئله کانتور درباره يک شئ رياضي مثل مجموعه ، عدد،تابع ،... نيست. بلکه درباره كل دستگاه حساب است. به چنين قضايايي فرا قضايا مي گويند. اثبات درستي يك فرا قضاياي رياضي نه در رياضي بلكه در منطق خاص رياضي (the logic of mathematics) امكان پذير است. نکته حائز اهميت اين است که تكنيك گودل در اثبات اين فرا قضيه به اندازه خود فرا قضيه و شايد بيش از آن تاثير گذار بوده است[5] . به طوري كه بعدها منطق دانان با تلفبق اين تكينك با تكنيكهاي منطق موجهات منطق جديدي را ساختند كه به آن منطق اثبات پذيري (provability logic) مي گويند. منطق اثبات پذيري يكي از انواع منطقهاي عام رياضي (mathematical logic) است[6].

البته بايد توجه داشت که مهارت خوب  يک شخص در اثبات  قضيه رياضي گرچه دليل کافي براي معرفت او بشمار نميرود اما اين بدان معني نيست که معرفت و مهارت يک شخص هيچ ربط و نسبتي با هم ندارند. يقينا از يک سو معرفت خوب يک شخص او را مستعد خلق مهارتهاي جالبي خواهد نمود و از سوي ديگر بدون آگاهي و انجام مهارتهاي اثبات رياضي به هيچ معرفت رياضي دست پيدا نخواهيم کرد. 

نكته­ي ديگري كه بهتر است درباره مهارت رياضي اشاره نمود، زيبايي تکنيکهاي اثبات رياضي يا به اختصار زيبايي رياضي است . مهمترين وجه تمايز هنر و علم در اين است كه هنر انشاء مي كند (خلق مي كند)، اما علم اخبار مي كند(كشف مي كند) . البته اين تمايز ، يك تمايز نسبي است يعني بهتر است بگوييم هنر بيش از انكه اخبار كند و بگويد زيبايي دروني وبيروني چيست، انشاء مي كند. او زيبايي را تعيين مي كند و به ما عرضه مي كند. اما علم بيش از انكه انشاء كند و بگويد حقيقت چگونه بايد باشد، اخبار مي كند؛ و مي گويد حقيقت چنين به نظر مي آيد. حال آيا رياضي فقط يك علم است (مثل فيزيك و شيمي و ....) ؟!! به نظر مي رسد رياضي به همان اندازه كه كشف ميكند ، خلق هم ميكند . بعضي از زيبائيهاي رياضي کشف شدني هستند و آن وقتي است که ما به معرفت رياضي دست يابيم و برخي نيز خلق کردني هستند خلق اين زيبائيها عمدتا در تکنيکهاي اثبات است. بنابراين هم معرفت و هم مهارت رياضي واجد زيبايي هايي است كه تنها در صورتفهم و به كارگيري مي توان آن را دريافت . زيبايي رياضي مثل زيبايي شعر و بيشتر مثل زيبايي شطرنج است. اين نوع از زيبايي ها بيش از انكه سمعي يا بصري باشند ، خيالي، وبهتر بگوئيم عقلي، است. در هر حال زيبايي از رهگذر تكنيك ها و مهارتها متعين مي شوند.

 بديهي است که بحث مهارتهاي رياضي عمدتا در علم و عمل آموزش رياضي اهميت دارد و نيز به دلايلي در روانشناسي رياضي و زيبائي شناسي رياضي و هوش مصنوعي مورد توجه قرار ميگيرد؛ لذا ما در فلسفه رياضي  توجهي به اين بحث نخواهيم داشت.

ادامه مطلب در پست بعد