معرفت رياضي

ابتدا بايد بين اطلاعات[1]، معرفت[2] و علم[3] فرق قائل شد. اطلاعات عبارت است از خبرهايي که از امور واقع (facts) داده مي­شود. مثل اين خبر که: قصرالحمراء در اسپانيا قرار دارد. اطلاعات در شش قالب زباني قابل بيان هستند:

-                             الف، موجود است/نيست.

-                             الف،ب است/ نيست.

-                             بين الف و ب رابطه ج است/نيست.

البته ملاحظات زبان طبيعي[4] ( مثل ملاحضه زيبا گويي و ساده گويي) موجب مي شود که گاهي اطلاعات، قالب هاي پيچيده تري داشته باشند؛ اما اگر بخواهيم اين ملاحظات را کنار بگذاريم، همه اطلاعات به يکي از اين شش قالب يا ترکيبي از آنها فروکاسته مي شود. از آنجائيکه اطلاعات، ماهييتي انتزاعي دارند و تحليل امور انتزاعي هميشه نادقيق و بحث برانگيز است؛ لذا بهتر است بجاي اطلاعات به سراغ جملات متناظر برويم. چرا که اين جملات آن اطلاعات را «عيني» و «همگاني» مي کنند[5]. بين يك گزاره و يك وضعيت ممكن از دنياي اطراف ما رابطه­اي هست كه در منطق و فلسفه از اهميت ممتازي برخوردار است. اين رابطه رابطه صدق و كذب است (مطابق اين رابطه همواره هر گزاره­اي يا صادق است و يا کاذب).آيا يک گزاره بدون تطبيق با يک وضعيت ممکن ( يعني بدون تطبيق با جهان خارج) ميتواند صفت صادق يا کاذب بپذيرد؟ مثلا در مورد گزاره" هر مجردي بي همسر است" يا " هر کوسه اي ريش پهن است" چه ميتوان گفت؟ به نظر ميرسد که همواره و بدون مراجعه به جهان خارج اولي صادق و دومي کاذب است. آيا صدق و کذب اين نوع از گزاره ها مطابق تعريف متعارف صدق ( که عبارتست از مطابقت با واقع) خواهد بود؟ آيا صدق قضاياي رياضي از اين نوع است ؟ اين مسئله را در فصل دوم - بخش معناشناسي،توضيح خواهيم داد[6].

اما معرفت عبارت است از باور صادق موجه. همانطور که ملاحظه مي شود هر معرفتي حاوي يک گزاره (يا اطلاعات) است؛ اما هر گزاره اي لزوماً يک معرفت نيست. بلکه بايد سه شرط داشته باشد تا يک معرفت ناميده شود: اولاً بايد کسي به آن باور داشته باشد، ثانياً بايد اين گزاره صادق باشد و ثالثاً کسي که به آن باور دارد بايد براي باور خود دليل داشته باشد.

بديهي است که «اطلاع داشتن از يک جواب» و «دانستن يک جواب» با هم فرق مي کند. اولي از سنخ اطلاعات است اما دومي از سنخ معرفت. بنابراين اگر ما درباره وجود مجموعه هاي ناشمارا باور درستي داشته باشيم ولي هيچ توجيهي براي آن ارائه ندهيم به آن علم نداريم. به عبارت ديگر در رياضيات کسي مي تواند بگويد «مي دانم که مجموعه ناشمارا وجود دارد» که بتواند يک «برهان» براي آن ارائه کند و دوباره هرکس ديگري که بخواهد «بداند» آن قضيه چيست بايد سطر به سطر آن برهان را «بفهمد» و «تصديق» کند، و الا او آن قضيه را «نمي داند» هر چند ممکن است از آن «اطلاع» داشته باشد.

    نکته ديگر در اين مسئله آنست که نبايد لفظ «معرفت» و مترادفات آن (مثل دانستن، علم يافتن ،...) و مشتقات آن (مثل مي دانم که، مي دانند که،...)را هميشه به اين معني در نظر گرفت. اين نوع از معرفت را معرفت گزاره اي[7] مي­گويند. گاهي اوقات ما معرفت را به معني ديگري هم به کار مي بريم؛ که به آن معرفت کارداني[8] گويند. مثلاً اينکه بگوئيم من رانندگي مي دانم. در اينجا منظور ما از دانستن، «مهارت داشتن» و « قابليت انجام کاري را داشتن» است. ما به اين معني از دانستن در بخش قبلي يعني مهارت رياضي پرداختيم. در اينجا منظور از معرفت رياضي دقيقاً همين معني از معرفت است يعني باور صادق موجه. چه زماني يک باور در مورد يک حقيقت رياضي، معرفت محسوب مي شود؟مثلا زماني كه ما براي آن يک برهان منطقي اقامه کنيم يا .. ؟ اين مسئله را در فصل دوم - بخش معرفت شناسي،توضيح خواهيم داد[9].

بالاخره سومين اصطلاحي که در ابتداي اين بخش نام برديم، علم[10] بود. علم مجموعه­اي از معرفت [11] ها (يا گزاره ها) را شامل مي شود که به لحاظ موضوع ، مسائل، غايت و روش خاص از ساير معرفت­ها متمايز شده است. مثلاً منطق، علمي است که درباره تعريف و استدلال بحث مي کند(تعريف به موضوع)؛ يا به تعبير ديگر منطق علمي است که درباره دلالت،تعريف، تقسيم،قضيه،استدلال و... بحث مي کند(تعريف به مسائل) يا اينکه بگوئيم: منطق علمي است که اگر آنرا فرا بگيريم و بکاربنديم ذهنمان از خطا مصون مي ماند(نعريف به غايت).روش نيز ميتواند موجب تمايز علوم شود. روش علوم يا قياسي[12] است و يا استقرائي[13]. علوم قياسي علومي هستند که از n مفهوم تعريف شده و m اصل موضوع ساخته شده اند بطوريکه هر گزاره اي که در اين علوم در نظر بگيريم، يا تعريف هستند يا يک اصل موضوعه و يا با اعمال قواعد منطقي روي اين اصول موضوعه بدست آمده اند؛ مانند رياضي ،منطق، متافيزيک و فيزيک نظري.

در حالت کلي در اين علوم اگر کسي بپرسد چرا الف، ب است بايد نشان دهيم که: چون الف، ج  است و ج،ب است پس الف، ب است. حال اگر هر کدام از اين دو مقدمه(الف، ج است و ج،ب است ) يکي از تعاريف يا اصول نباشد بايد دوباره نشان دهيم که مثلاً الف، ج است چون الف، د است و د ، ج است بنابراين الف، ج است. و نهايتاً بايد به اين n مفهوم و m اصل موضوع برسيم.

اما علوم استقرائي علومي هستند که از طريق مشاهده ، نظريه پردازي و آزمون بدست مي آيند؛ يعني ابتدا مسئله اي مطرح مي شود و سپس يک راه حل در قالب نظريه حدس زده مي شود و سپس قوانيني در پرتو اين نظريه پيشنهاد و در قالب معادلات جبري ارائه ميشود و نهايتاً اين قوانين آزمون مي شوند و در صورت نياز در نظريه و قوانين بازنگري هائي صورت مي پذيرد تا به نتيجه رضايت بخش برسد. اگر اين نظريه و قوانين آن از آزمون هاي مختلف سربلند بيرون بيايد آن نظريه را عجالتاً ميپذيريم.تا زماني که شايد مسئله اي جديد آن را ابطال نمايد.مانند فيزيک شيمي و زيست شناسي.اين مسئله را در فصل دوم - بخش علم شناسي( يا فلسفه علم)،توضيح خواهيم داد.