با افزودن محمول «اين‌هماني» به منطق محمول‌ها، دو قاعده جديد به نام‌هاي «معرفي اين‌هماني» و «حذف اين‌هماني» به مجموعه قواعد استنتاجي افزوده مي‌شود؛ اما براي گسترش «منطق محمول‌ها» به «منطق محمول‌ها و توابع» نيازي به هيچ قاعده استنتاجي جديد نيست! تنها كاري كه براي اين گسترش انجام مي‌دهيم افزودن «تابع‌نشانه‌ها» به واژگان زبان و افزودن «قواعد ساخت حد» است:

براي اين كار، ابتدا، حروف كوچك لاتين f و g و h (و در صورت نياز، همين حروف به همراه انديس: f1 و g1 و h1 و f2 و g2 و h2 و f3 و g3 و h3 و .. ) و نيز كاما را به واژگان زبان مي‌افزاييم. اين حروف را «تابع‌نشانه» مي‌ناميم.[1] كاما نيز براي جدا كردن شناسه‌هاي تابع است.[2] اكنون، مي‌توانيم «قواعد ساخت حد» را بيان كنيم:

 

  1. هر نام خاص، حد است.[3]
  2. هر تابع‌نشانه‌ي n - موضعي كه n حد به جاي موضع‌هاي آن نشسته است نيز حد است.

(يعني اگر  α تابع‌نشانه‌ي n - موضعي و β1، ... ، βn حد باشند آنگاه  α(β1 , … , βn نيز حد است).

 

با تعريف بالا، مي‌توان براي حد مثال‌هاي زير را آورد:

a; b; c; … ;

f (a); f (b); f (c); … ;

f (f (a)); f (f (f (a))); … ;

g (a,b); g (a,f (a)); g (g (f (a),b),f (a)); … ;

h (a,b,c); h (g (a,b), g (a,a), g (a,f (a))); …

براي مثال، حدود شامل موارد زير مي‌شود:

علي، بهرام، سارا، داود، ...

پدر (علي)، پدر (بهرام)، ...

پدر (پدر (علي)) [= پدربزرگ (علي)]، ...

پدر (رئيس‌جمهور (كشور (محل تولد (مادر (علي))))، ...

معرفي كننده‌ي (سرمربي (تيم قهرمان (جام جهاني فوتبال، 2010))، رئيس (فدراسيون فوتبال (اسپانيا))، 2000)

 

مي‌بينيم كه توابع، تعداد حدود را به يك باره بي‌نهايت بار افزايش مي‌دهد.

 

با افزودن توابع، قواعد استنتاج جديدي به قواعد «منطق محمول‌ها» افزوده مي‌شود كه با يك تغيير كوچك در بيان قواعد سور پديد مي‌آيند: در دو قاعده از قواعد چهارگانه معرفي و حذف سور، به جاي «نام خاص»، واژه‌ي «حد» را قرار مي‌دهيم. اين دو قاعده عبارتند از: حذف سور كلي و معرفي سور وجودي:

 

اگر α متغير و β يك «حد» و A(β) فرمولي حاصل از قرار دادن β به جاي همه موارد α در فرمول A(β) باشد آنگاه دو قاعده زير را داريم:

 حذف سور كلي:

(α)A(α)

-------- 

A(β)

 معرفي سور جزئي:

A(β)

---------

(Eα)A(α)

 [يادداشت[4]]

اين تغيير كوچك سبب مي‌شود كه قضاياي جديدي در «منطق محمول‌ها و توابع» اثبات شود كه نمونه‌جانشين هيچ يك از قضاياي «منطق محمول‌ها» نيست. براي نمونه:

(α)A(α) --> (α)A(f(α))

(Eα)A(f(α)) --> (Eα)A(α)

اين دو قضيه شهودا صادق‌اند[5] اما در سمانتيك «منطق محمول‌ها» بدون «توابع» توجيه‌پذير نيستند.  اين دو قضيه در اثبات برخي فراقضاياي «منطق فلسفي» كاربرد دارد و مورد نياز است. براي نمونه، در سمانتيك «منطق ربط»، براي اثبات اينكه استنتاج زير از نظر سمانتيكي درست است به قضيه دوم نياز داريم:

~ ( A --> ~ B )   |=   AoB

دليل اين مسئله آن است كه در سمانتيك «منطق ربط»، براي بيان شرط صدق «ناقض»، نيازمند تابعي هستيم به نام «تابع همتايي» كه با ستاره (*) نشان داده مي‌شود. با داشتن اين تابع، شرط صدق ناقض در منطق ربط چنين است: A~ در وضعيت x صادق است ات‌ا A در وضعيت *x (يعني در همتاي x) كاذب باشد.

از اينجا، نتيجه مي‌شود كه «منطق فلسفي» حتي در فراقضاياي «منطق گزاره‌ها» نيازمند «منطق محمول‌ها و توابع» است! هرچند فراقضايا را غالبا به زبان نيمه صوري بيان و اثبات مي‌كنند اما دانستن اينكه بيان و اثبات كاملا صوري قضايا نيازمند چه منطقي است مي‌تواند از دچار شدن به ابهام‌ها و ترديدهايي پيش‌گيري كند كه گاه روند اثبات را به كلي متوقف مي‌كنند. از اين رو، آشنايي با «منطق محمول‌ها و توابع» براي «منطق‌دانان فلسفي» نه تنها شايسته كه بايسته است.


 

[1] در برخي از نظام‌هاي منطقي، همه حروف كوچك لاتين از آغاز تا حرف n را براي نام‌هاي خاص در نظر مي‌گيرند؛ در اين صورت، سه حرف f، g و h نيز نام خاص به شمار مي‌آيند. اگر در اين نظام‌ها بخواهيم اين سه حرف را «تابع نشانه» بگيريم ناگزيريم كه آنها را از مجموعه نام‌هاي خاص خارج كنيم. راه ديگر آن است كه مانند برخي كتاب‌ها، نام‌هاي خاص را «تابع‌نشانه صفرموضعي» در نظر بگيريم.

[2] در واقع، نيازي به كاما نيست؛ اما به دليل كاربرد فراوان كاما ميان شناسه‌هاي تابع در رياضيات، ما نيز كاما را به كار مي‌بريم.

[3] در برخي كتاب‌ها، كه عبارت‌هاي شامل متغيرهاي آزاد نيز «فرمول» يا «wff» به شمار مي‌آيد، متغيرهاي فردي را نيز «حد» مي‌گيرند. از آنجا كه ما علاقه‌اي به فرمول‌هاي باز و شامل متغيرهاي آزاد نداريم، متغيرهاي فردي را «حد» نمي‌گيريم.

[4] توجه كنيد كه بر خلاف اين دو قاعده، در قاعده‌هاي معرفي سور كلي و حذف سور وجودي، b بايد «نام خاص» باشد و نه «حد». دليل اين مسئله اين است كه در غير اين صورت، فرمول‌هاي نادرستي مانند فرمول‌هاي زير اثبات مي‌شوند:

(α)A(f(α)) --> (α)A(α)

(Eα)A(α) --> (Eα)A(f(α))

نادرستي اين دو فرمول را از دو مثال نقض زير مي‌توان دريافت:

اگر پدر هر كسي مرد است آنگاه همه مردند

اگر كسي زن باشد آنگاه پدر كسي زن است.

[5] براي مشاهده صدق اين دو قضيه (و نه اثبات آن)، به مثال‌هاي شگفت‌انگيز و در عين حال شهودا صادق زير توجه كنيد:

 

اگر هرچيزي غيرمكاني باشد مكان هر چيز غيرمكاني است

اگر مكان يك شيء زمان باشد زمان وجود دارد.