سمانتیک منطقهاي لويس و منطقهاي غيرنرمال
بيشتر خوانندگان ايراني با سمانتيك منطقهاي نرمالِ S4 و S5 آشنا هستند. اما منطقهاي غيرنرمال، از جمله منطقهاي S1 تا S3، چه سمانتيكي دارند؟ پاسخ را در اينجا ميبينيد: سمانتیک منطقهاي لويس و منطقهاي غيرنرمال.
در اين سمانتيك كه براي اولين بار، كريپكي 1965 ارائه كرده است مفهوم «جهانهاي غيرنرمال» وارد بازي سمانتيك شده، نقش اساسي در ابطال بسياري از قضاياي S4 و S5 ايفا ميكند.
«جهانهاي غيرنرمال» يعني «جهانهاي ممكن غيرمنطقي» يعني جهانهاي ممكني كه در آنها، برخي قضاياي منطق، صادق نيستند. وجود چنين جهانهايي، دست كم، در ابطال دو فرمول، خود را نشان ميدهند:
ميدانيم كه فرمول (p-->p)[] یعنی ضرورت استلزام مادی از p به p قضیه منطقهاي S1 تا S3 است
1. اما فرمول (p-->p)[][] یعنی ضرورتِ ضرورت استلزام مادی از p به p قضیه اين منطقها نيست (زيرا قاعده ضرورت قضايا دراين منطقها برقرار نيست.) وجود جهانها غيرمنطقي، ميتواند توجيهگر خوبي براي عدم اعتبار سمانتيكي اين فرمولباشد: كافي است فرمول (p-->p)[]، كه قضيهاي منطقي است، در يك جهان غيرمنطقي، كاذب باشد؛ بنابراين، فرمول (p-->p)[][] در همه جهانهاي منطقي، صادق نخواهد بود!
2. فرمول ((q-->[](p-->p)[] يعني استلزام اكيد ميان يك گزاره دلخواه و گزارههاي منطقي (و به عبارت ديگر، استنتاج گزارههاي منطقي از گزارههاي دلخواه) قضیه منطقهاي S1 تا S3 نيست و در حقيقت، لويس براي ابطال پارادوكسهاي استلزام مادي از قبيل چنين فرمولهايي ((q-->(p-->p) اقدام به تأسيس منطق وجهي خود كرد.
وجود جهانها غيرمنطقي، ميتواند توجيهگر خوبي براي عدم اعتبار سمانتيكي اين فرمول نيز باشد: كافي است فرمول (p-->p)[]، كه قضيهاي منطقي است، در يك جهان غيرمنطقي، كاذب باشد اما q در آن جهان، صادق باشد؛ بنابراين،فرمول ((q-->[](p-->p) در آن جهان غيرمنطقي، كاذب خواهد بود
و در نتيجه، فرمول ((q-->[](p-->p)[] در برخي جهانهاي منطقي، كاذب خواهد شد!